Hilberts Hotel

I sine forelæsninger brugte Hilbert et hotel til at anskueliggøre visse af Cantors overraskende resultater. Jeg vil nu tillade mig at gøre det samme. Der findes ikke en autoriseret udgave af historien, så den følgende er en fri digtning.

Der er altid plads til én til

I de Schweiziske alper ligger der et vidunderligt hotel. Værelserne er velindrettede, maden er god, og beliggenheden er ideel med udsigt over Vierwaldstetter See. Hotellet blev hurtigt kendt for sin venlige betjening og hyggelige atmosfære. Antallet af gæster voksede og voksede, så Hilbert lod til sidst hotellet udvide, så der var uendelig mange værelser. Det hændte oftere og oftere at der var uendelig mange gæster.
En dag i højsæsonen var alle værelser belagt. Netop den dag kom der en gruppe rejsende fra stationen og ønskede fem værelser. De havde ikke bestilt plads, så de regnede ikke med noget. Og på et almindeligt hotel ville man naturligvis ikke kunne få plads til elleve gæster, hvis hotellet var fuldt belagt. Men netop på Hilberts Hotel kan man løse problemet. Portieren bad alle gæsterne om at flytte værelse: Gæsten i værelse ét skal flytte til værelse seks, gæsten i værelse to skal flytte til værelse syv. Gæsterne skal blot flytte til det værelse, hvis nummer er fem større. På den måde opstår der plads til fem ledige værelser.
Så selvom hotellet er fuldt belagt er der altid plads til flere gæster.

Den lange kø

Næste dag havde der spredt sig det rygte, at Hilberts Hotel havde ledige værelser. Så der dannede sig en lang kø foran hotellet. Portieren sendte en drager ud for at tælle køen. Så ville han vide hvor langt de nuværende gæster skule flytte for at skaffe plads til de nye. Men drageren kom tilbage og meldte at køen var uendelig lang. Portieren troede at der umuligt kunne blive plads til så mange gæster. Han mente, at der kun kunne blive plads til endeligt mange gæster. Men for en sikkerheds skyld gik han ind og spurgte direktøren, David Hilbert. Og det var godt, for Hilbert kendte problemet og en løsning. Han sagde: "De må bede vores gæster om at flytte værelse igen. De skal flytte til et værelse, hvis nummer er dobbelt så stort som deres nuværende. Så bliver de ulige numre ledige. Der kan De indkvartere de nye gæster."
De ville sikkert have sørget for, at der også var uendelig mange værelser ledige, så der var plads til flere gæster. Men Hilbert kendte værdien af at have et fuldt belagt hotel. Og dertil kom at det var den sidste uge i højsæsonen.
Om vinteren blev hotellet lukket. Der skulle installeres klimaanlæg, og de elektriske installationer skulle efterses. Derfor stod Hilberts Hotel tilfældigvis tomt, da Den Store Kæde krakkede.

Den Store Kæde

Det var en kæde af hoteller som blev bygget af en amerikansk forretningsmand. Hilberts Hotel var blevet så berømt, at han mente at der var penge at tjene. Han opførte ikke bare ét hotel. Han byggede uendelig mange, hvert hotel med uendelig mange værelser. På den måde håbede han at blive uendelig rig. Men det viste sig at driftsomkostningerne var for store. Den første uge i højsæsonen brast ballonen. Der var ikke penge til personalets løn, og de nedlagde straks arbejdet. Så meldte kreditorerne sig. Dagen efter blev kæden erklæret konkurs. Da personalet havde nedlagt arbejdet, holdt gæsterne et møde, hvor de besluttede at sende en repræsentant til Hilberts Hotel og spørge hvor mange der var plads til der.
Repræsentanten fik foretræde for Hilbert, og han forelagde problemet. Hilbert rynkede panden og tænkte sig om. Han vidste at der i teorien skulle være plads til alle. Men han vidste ikke hvordan.
Man kunne lade gæsterne fra ét hotel flytte ind først. Så kunne gæsterne fra hotel nummer to flytte ind, og dernæst gæsterne fra hotel nummer tre. Men det ville jo tage uendelig lang tid. Han sagde: "I er meget heldige at håndværkerne netop er blevet færdige. Jeg tror at vi kan skaffe værelse til alle. Men vil De undskylde mig, mens jeg telefonerer til Cantor for at høre hvordan vi kan gøre det praktisk. Da Cantor havde hørt problemet sagde han: "Lad turisterne stille sig op i en kø for hvert hotel. Først gæsterne fra hotel ét, ved siden af køen af gæsterne fra hotel to, og så videre. Så starter De i det ene hjørne. Gæst nummer ét fra hotel nummer ét får værelse ét. Gæst to fra hotel ét får værelse to. Gæst et fra hotel to får værelse tre. Fortsæt med at gå diagonalt."
Hilbert tegnede situationen således:

Hilbert forstod straks ideen. "Genialt," udbrød han, "men hov, det vil jo tage uendelig lang tid for gæsterne at finde ud af hvor de skal være. De bliver jo nødt til at gå ind én diagonal af gangen."
Cantor: "Det går naturligvis ikke. Men de kender jo nummeret på deres værelse og det hotel de boede på. Så De må fortælle dem, hvordan de kan udregne deres nye værelsesnummer ud fra de to tal."
Efter samtalen sagde Hilbert til repræsentanten: "Vi har plads til alle. Gå De ind i restauranten. De kan få kaffe, kage og cognac på hotellets regning. Om ti minutter har jeg arrangeret det praktiske. Så går vi over og giver besked til vores kommende gæster."
Hilbert skulle først finde ud af, hvordan gæsterne selv kunne beregne deres værelsesnummer ud fra det gamle værelsesnummer og nummeret på hotellet. Han regnede med at kunne finde en simpel beregningsmetode på fem minutter eller mindre. Det skal ikke forstås på den måde at det bør man kunne. Hilbert var en trænet matematiker. Det betyder blandt andet at han kendte en masse tricks og formler, som kan komme én til nytte i sådan en situation.

Da det blev kendt at Hilberts Hotel havde plads til alle hans gæster, forstod den amerikanske forretningsmand hvorfor han var gået fallit. Selvom han havde uendelig mange hoteller, kunne han ikke have flere gæster end med ét hotel. Hans omkostninger havde været alt for store.

Den djævelske udfordring

Historien om Cantors genialitet vandrede hele verden rundt, og til sidst nåede den Helvedes forgård. Den følgende dag blev der banket på Cantors hoveddør. Gæsten blev vist ind og sagde: "Kæreste hr. Cantor. Jeg har hørt om Deres vidunderlige hotel. Det bærer selvfølgelig Hilberts navn; men jeg ved at Deres genialitet ligger bag dets ry - og nu ville jeg høre om De kunne hjælpe mig med et problem jeg har. Jeg er repræsentant for nogle tal, nemlig tallene mellem nul og én. De vil gerne på efterårsferie, og jeg ved at De har plads til uendelig mange gæster. Jeg skal straks rejse videre, så jeg håbede at vi kunne skrive kontrakt på stedet. De vil blive rigeligt belønnet."
Cantor havde fået en frygtelig mistanke: "Hvad så hvis vi alligevel ikke skulle have plads til alle?"
Gæsten svarede: "Betalingen vil være fyrstelig: en ædelsten for hvert tal, De kan skaffe værelse til. Så bøden for kontraktbrud må være stor. Jeg havde tænkt mig en tid i Helvede. Skal vi sige ét sekund for hvert tal der ikke er værelse til?"
Nu forstod Cantor, hvilken situation han var havnet i, og hvem hans gæst var: "Jeg er smigret over at De henvender Dem til Hilberts Hotel. Men jeg må desværre meddele Dem, at vi ikke har plads til så mange gæster."
"Mon dog ikke. De kan jo købe alle andre gæster ud for den betaling jeg giver, og stadigvæk være styrtende rig."
"Jeg beklager. Vi har ikke plads til så mange gæster."

"Ville De være så venlig at forklare mig hvorfor?"
Med det sidste spørgsmål, lagde Djævelen en snedig fælde for Cantor. For gæsten var selvfølgelig ingen anden end Djævelen. En matematiker har nemlig meget svært ved at sige nej til en mulighed for at forklare noget matematik. Så Cantor forklarede. Her kommer Cantors forklaring så godt som jeg har forstået den.

Der er nogle få af tallene der kun består af fire- og femtaller, for eksempel 5:11 = 0,454545... Men ikke engang Dem har vi plads til. Det kan man indse på følgende måde:
Antag at vi havde indkvarteret tallene, enten nogle af dem eller alle sammen. Så kan jeg altid finde et tal af denne type, som ikke er indkvarteret. Det beviser at man ikke kan indkvartere dem alle.
Vi skriver de tal op som er i værelserne:

Værelse 1: 0,44454455444545545555....
Værelse 2: 0,44445455455445454445...
Værelse 3: 0,54455545445545454445...
Værelse 4: 0,45454545454545454545...
Værelse 5: 0,45555445545555544544...
og så videre

Jeg skal nu finde et tal der ikke kan være i denne liste. Det tal der ikke kan være indkvarteret er 0,55544... Tallets tredje decimal findes ud fra tallet i værelse tre. Den tredje decimal af tallet i værelse nummer tre er fire. Man vælger den modsatte. I eksemplet ovenfor er den fem; altså bliver mit tals tredje decimal fem.
Det tal der fremkommer på den måde er ikke indkvarteret noget sted. Det kan for eksempel ikke være i værelse tusind. For den tusinde decimal mit tal er forskellig fra det den tusinde decimal af det tal der er i værelse tusind.

Noget i den stil sagde Cantor. Djævlen havde lyttet mere og mere utålmodigt, for det er en stor fejl at spille klog over for ham. Jeg tror ikke at De eller jeg ville have klaret sig bedre end Cantor. Hvis man har god tid og Djævlen er langt væk, så kan man sikkert regne ud hvad man skulle have gjort. Det er noget helt andet, når hans magnetiske og truende personlighed står over én.
Djævlen vrissede: "Men det tal kunne man jo så bare indkvartere i værelse ét."
Både Djævlen og Cantor vidste at argumentet ikke var gyldigt. Hvis Cantor var faldet i fælden, havde han omhyggeligt forklaret at argumentet ikke duede og hvorfor. Så var Djævlen blevet så ophidset, at han havde fået kræfter nok til at gøre stor skade. Men hans vrissen gjorde Cantor opmærksom på faren ved at spille klog. Så han sagde bare: "Det er muligt."
Nu demaskerede Djævlen sig, og stående med horn og hale og ild i øjnene sagde han: "En dag vil jeg vende tilbage med en mængde der måske - eller måske ikke - er plads til på Hilberts Hotel. Og der vil diagonaltricket ikke du. Du må hellere være forberedt, for et ubegrundet afslag vil blive dyrt." Og han forsvandt i en røgsky.

Findes der mængder der ikke er plads til på Hilberts Hotel, men hvor man ikke kan indse det ved hjælp af diagonaltricket? Det spørgsmål tænkte Cantor meget over. Det var det problem, han arbejdede mest på hele sit liv.